フーリエ変換と分析科学

フーリエ変換は波の足し合わせとして表現されます。

 　F(ω)=∫{−∞∞}f(t)exp-iωt dt

​F(ω) は周波数領域での信号の表現。
F(ω)は複素数
|F(ω)|の絶対値は振幅の強さ
arg(F(ω)|複素数の角度は位相
ω は角周波数（ラジアン毎秒、 
ω=2πf で周波数 
t は時間。
e −iωtは複素指数関数（正弦波と余弦波の組み合わせを表す）。

数字の並びに対してある傾向があって、それが周期的であれば、
その数字をずっと長い羅列としてすべて提示する必要はなくて
その数字の振幅の周期、位相、振幅の強さを数字に変換します。
上述したようにフーリエ変換は周期関数を「波の足し合わせ」として考えますから
複数の波の成分が波を表現するために十分なパラメータ、
すなわち周期、位相、振幅の強さを数字として出力します。

ここで重要なのはフーリエ変換は「変換」ですから
関数が示すパラメータが変わっていることす。
具体的には「時間(t)」から「周波数(ω)」に変わっています。
従って、示される関数の横軸は周波数になります。
具体的に出力される関数は特定の周波数(ω)を持つ「δ関数」のあつまりになります。
ただ、このδ関数は理想的な場合であって、
実際に自然界に示される波の周期は一定範囲の広がりをもっています。
その広がりはガウシアン分布を取ることが多いです。
(参考文献(1) Fig.3)
従って、振幅情報は個別のδ関数に含まれています。
具体的には
　　　　　　　F(ω)=A(ω)⋅exp(iθ(ω))
これで、A(ω)は周波数に対する振幅であり、Θ(ω)はその周波数に対応する位相です。

実際の波はずっと同じ振幅ではなく減衰するものもあります。
その減衰率αを考慮してフーリエ変換を書き直すと

　　　　　　　F(ω)=∫{−∞∞}exp(-αt)f(t)exp-iωt dt

このようになります。

ここまで学んだところで、実際にフーリエ変換をどのように応用するか考えます。
フーリエ変換の重要な役割は、多くの自然界にある、
あるいは人が意図的に物理現象を利用してとった信号を
「波の足し合わせ」としてとらえます。
実際に自然界にある物理的な現象は、
光(電磁場)、音(粗密波)、(特に固体の場合の)熱(格子振動)など
特定の周波数(波長)を持つ波であることが多いです。
実際には一つの正弦関数、余弦関数のような綺麗な波ではありませんが、
そうした波が様々な周期、振幅、位相で重なり合っています。
従って、こうした自然界の信号を元に取った
電子信号などの信号は同様に波の性質を持つ事が多いです。
従って、
医療の画像診断などの情報も時間に対して局所のデータでは
当然、一つの電子信号の数字ーデータとして示されますが、
空間、時間ともに波の性質を持っている事が多く、
さらに自然の中で取得した情報ですから、
外部に存在する電磁波や音などの信号を無作為に拾っている事があります。
これがノイズとして検出されるので、
それをソフトウェア側で除去する必要があります。
こうしたデータを扱った人ならわかることですが、
こうしたノイズは大小さまざまなパターンがありますが、
一般的に高周波であることが多いです(2)。
フーリエ変換は波の分離をδ関数として実現できますから、
こうした高周波のノイズを実際に欲しい信号と分離して示すことができます。
こうした処理をコンピューター上で行う際にフーリエ変換は利用されます。
特に時間分解能を上げた高速信号を処理する場合には
その電子回路として電子信号を上げるために高速オペアンプが使われることがありますが、
当然、時間分解能の高い高周波信号ノイズも増幅してしまいます。
それによりS/N（信号/ノイズ)比をさげてしまいます。
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実際の信号処理では例えば、光子を電子に変える場合には
一定の時定数があり、それよりも大きな時間幅で
どれくらいの間隔でデータを検出(サンプリング)するかの選択があります。
実際に分析したい信号の周波数に対して
低い時間分解能で分析した場合には
当然、その波の特徴を十分に分析することができません(1)。
ナイキスト・シャノンの標本化定理(The Nyquist–Shannon sampling theorem）では
最高周波数の少なくとも2倍でなくてはいけないとされていますが、
波がガウシアン分布でピークを中心に両方に広がっている事を想定すると
2倍では一つの波に対して2点しかデータが取れませんから、
この最低条件では十分精度の高い波形は当然分析できません。
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フリーエ変換などによって示された周波数、位相、振幅などの情報は
当然、振幅に応じて大小があります。
条件によっては高周波の弱い情報を取得したい場合があります。
その情報を「選択的に」強調したいときには
「畳み込み演算」という手法がとられます。
これは、特定の領域のデータだけを抽出して
バックグランドのデータに対して、乗算することによって
その領域の情報を強調させる手法です。
こうした畳み込み演算の手法は、画像解析でも一般的に行われます。
例えば、画像解析では位置、各ピクセルに相当する
行列の番地(m,n)を特定するためには
周辺のデータを統計的に分析して、その特徴を定義します。
その時にどれくらい周辺の情報を参照するかの範囲を
カーネル(フィルタマスク)と呼びますが、
これを画像全領域をスライドしながら行っていくときには
バックグラウンドの情報に対して、
このカーネルの範囲の情報だけを強調させる事をします。
この時には畳み込み演算が行われます。
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こうしたフーリエ変換を用いて、
異なる波の情報を分離する事は現象を分析する上で非常に重要な場合があります。
例えば、ある技術開発をしていて、
その電子信号を取った時に、眼でみてわからないような
微弱な信号において周期性がある場合があります。
そうした場合、その連続的なデータからは気づきませんが、
フーリエ変換して通常はノイズで出ないような帯域幅で
わずかにピークが見られることがあります
これが、研究、技術開発をするうえで発見となることがあります。
あるいは、地球規模の振動(3)や
気温上昇が果たして人為的なものであるかどうか？
(参考文献(4) Parallel Climate Model Ensemble)
こういった分析をする際にもフーリエ変換は有効です。
実際にQingxiang Li(敬称略)らがFig.2 or 3に示すように(5)
その年の温度の特異性(anomalies）は
日本であれば
太平洋の海水温の傾向(エルニーニョ、ラニーニャ、十年規模振動)、
北極と赤道の温度差に起因する風の蛇行の度合い、
地球と宇宙線との関係など
温度に影響を与える様々な因子があり、
それらを含んだ形で示されます。
こうした影響は周期性を持っている事が多いため、
フーリエ変換で周波数分析をして個別化する事によって、
それぞれの現象の影響を切り分ける事ができます。
例えば、確かに人為的な炭素量の増加の影響は
地球規模の温暖化に影響を与えているけど、
それだけでは説明できず、他の影響もあるかもしれない。
こういった地球規模の問題をより明確化することにも貢献します。

(参考文献)
(1)
Marc-André Delsuc & Peter O’Connor 
The Fourier transform in analytical science
Nature Reviews Methods Primers volume 4, Article number: 49 (2024) 
(2)
R. Mohan Raj, P. Thanapal, S. Saravanan, M. Sundar Prakash Balaji & V. Elamaran
High-Frequency Noise Removal on Corrupted ECG Signal Using Exponential Averagers
Microelectronic Devices, Circuits and Systems pp 43–54
(3)
Mostafa E. Hamouda, Claudia Pasquero & Eli Tziperman 
Decoupling of the Arctic Oscillation and North Atlantic Oscillation in a warmer climate
Nature Climate Change volume 11, pages137–142 (2021)
(4)
Global Warming is Only Part Human Caused
(5)
Qingxiang Li, Bosi Sheng, Jiaying Huang, Chao Li, Zhaoyang Song, Liya Chao, Wenbin Sun, Yang Yang, Boyang Jiao, Ziyou Guo, Longshi Liao, Xuqian Li, Chenglong Sun, Wen Li, Boyin Huang, Wenjie Dong & Phil Jones 
Different climate response persistence causes warming trend unevenness at continental scales
Nature Climate Change volume 12, pages343–349 (2022)